Mates y neurociencia: como la topología nos informan

Es hora de volver a la clase de matemáticas y entrar en un mundo en el que una taza de café y un donut son lo mismo. Si ignoras las distancias y las formas, y en cambio te enfocas en la continuidad y las relaciones, un donut se puede transformar fácilmente en una taza de café, haciéndolas “topológicamente equivalentes”. El agujero es la parte más importante ya que ahí es donde hay una falta de continuidad en los puntos

Figura 1: Si nos centramos en lo que es importante en topología, los agujeros en las formas, entonces cualquier forma que pueda moldearse entre sí es equivalente. Entonces, una taza de café es lo mismo que un donut.

La topología algebraica es un campo de las matemáticas que, en muchas formas, describe relaciones y simplifica las operaciones. En la última década, la topología se ha convertido en una herramienta importante para analizar y llegar a una mejor comprensión de conjuntos grandes de datos. Si bien la mayoría de las herramientas de la ciencia de la comprensión de las redes se centran únicamente en propiedades locales basadas en conexiones de par a par, las herramientas topológicas revelan las propiedades globales que surgen a partir de  estructuras de mayores dimensiones que las que se pueden observar al analizar los datos en un formato tradicional, como, por ejemplo, medir la distancia entre puntos de datos.

Cuando se aplican teoremas y definiciones que provienen del campo abstracto de la topología para estudiar otros campos, se le denomina topología computacional. La topología computacional consiste en métodos algorítmicos que investigan y encuentran, en una manera cuantitativa, simplificaciones significativas de datos de alta dimensión. Se puede considerar una herramienta para comprender formas y superficies en estructuras de datos. Esto puede parecer bastante alejado de otros campos como la neurociencia, pero la topología computacional ofrece un marco para describir y comprender analíticamente la función del cerebro.

Figura 2: ¿Cómo podemos describir los datos que vemos? Si esto es lo que mostraron nuestros datos, los métodos tradicionales no detectarían su forma subyacente (un círculo). Al poder ver que nuestros datos forman un círculo y, por lo tanto, tienen un agujero en el medio, aprendemos mucho sobre dónde pueden y no pueden existir puntos en el espacio. Esto podría decirnos que al cablear una red neuronal hay conexiones que no pueden existir.

Que es neuro-topología

Desde principios del siglo XX, los dibujos de Ramón y Cajal de las intrincadas redes de neuronas han ayudado a elucidar una visión de la compleja red del cerebro. Desde entonces, los neurocientíficos han intentado formalizar y capturar la información contenida en la estructura de estas redes neuronales. Debido a este intento de comprender las estructuras de las redes neuronales, la topología ha sido, durante largo tiempo, un concepto central en la neurociencia. Aun así, el estudio de la información que las neuronas transmiten a través de la topología computacional se ha desarrollado recientemente. Hoy en día, se puede registrar con precisión la actividad eléctrica de las neuronas en cada punto del tiempo de estas redes neuronales. El objetivo de esto es comprender la dinámica y el patrón de conexiones que, con suerte, puede llevarnos a poder predecir cuándo se activa una neurona.  conexiones por pares de  neuronas solo captura parte de la red de flujo de información del cerebro. Estas redes neuronales se vuelven cada vez más complicadas a medida que aumenta el número de células y, por tanto, para  lograr una mayor comprensión del cerebro humano, el estudio de las redes neuronales utilizando herramientas matemáticas se ha vuelto cada vez más importante. El cerebro humano tiene alrededor de 86 mil millones de neuronas que reciben y envían señales. Existe un claro eslabón perdido en la investigación entre la estructura de una red neuronal y su función emergente. Por ejemplo, en muchas enfermedades como el Alzheimer, los cambios en la estructura de la conectividad neuronal pueden provocar una interrupción de la función del cerebro. La topología proporciona una forma formal y cuantitativa de capturar los aspectos estructurales y funcionales de la organización del sistema nervioso.

Figura 3: La estructura de las redes neuronales. El mapeo de neuronas con otras neuronas a las que se conectan revela qué forma pueden hacer. Aquí, los puntos rojos son los somas, y las formas a continuación representan un diagrama de la conectividad de esta red. Diferentes estructuras pueden estar involucradas en diferentes procesos o cumplir diferentes funciones.

Un ejemplo de cómo funciona la topología computacional.

Para entender mejor  la topología computacional, podemos observar cómo los neurocientíficos la han usado para comprender cómo el cerebro codifica los lugares en los que hemos estado en un entorno.

El hipocampo es una región del cerebro conocida por su papel en la navegación espacial. Cuando los animales navegan por laberintos, esta área es muy activa. Se piensa que el hipocampo es una buena plantilla topológica: al construir una representación de los lugares en los que ha estado el animal, se centra más en la conectividad entre células,que en las distancias y ángulos reales entre los puntos del laberinto.

¿Cómo construye el cerebro esta representación de un espacio por el que se mueve sin distancias ni ángulos exactos? La información es transmitida por neuronas en un orden particular, formando un mapa cognitivo. Estas neuronas no tienen acceso directo al entorno físico, y la única información que reciben es el patrón temporal de la actividad de las neuronas (trenes de picos). En la topología, las secuencias, las relaciones entre ubicaciones y la continuidad son mucho más importantes que la geometría. Por lo tanto, en lugar de tener que codificar cada espacio físico que podría existir, el cerebro puede usar un código neuronal topológico mucho más eficiente.

Figura 4: Imagina cada entorno en el que entramos, tenemos un número arbitrario de formas que cubren el área general. En topología, su tamaño exacto no importa, por lo que podríamos cubrir cualquier espacio. Podríamos entender dónde estamos por la relación de cada forma entre sí mapeando una distancia física en el espacio.

Nuestro cerebro no tiene acceso al mundo exterior, el cerebro no sabe qué es un metro o un ángulo de 90 grados, pero es posible que pueda comunicarse con cada neurona para averiguar dónde ha estado sin tener en cuenta la distancia física. Podría hacer esto cubriendo cada entorno en formas arbitrarias (en este ejemplo, círculos). La cantidad, el tamaño, o la forma exacta de las formas no son relevantes  en la topología siempre que la forma sea continua como un círculo.

Figura 5: Una forma en que las neuronas podrían construir un código para decirnos dónde estamos en el espacio. Las neuronas que disparan en un conjunto podrían marcarse con un cero. Esto podría marcar una relación en el espacio con el lugar donde existimos. 1110 podría significar que existimos en un espacio superpuesto entre 3 neuronas pero no en una tercera forma.

Un código podría construirse mediante una cadena de neuronas que se disparan juntas, como en la figura 3. Este código serviría como un mapa  del espacio físico. Si la actividad de diferentes neuronas coincide en un momento, como en la figura, podríamos construir un código donde a una neurona se le asigna un 1 si dispara un potencial de acción y un 0 si no lo hace. Esto produce una palabra en clave binaria, como  por ejemplo 1110, lo que indica que las tres primeras neuronas se activaron juntas, y la última neurona no fue activada. 1110 podría indicar que existe un punto donde tres círculos se superponen pero no un cuarto. Lo significativo aquí es que las neuronas no codifican distancias, sino relaciones. Por eso se piensa que el hipocampo es un lugar que usa la topología en su funcionamiento. [3]

Lo anterior describe un ejemplo relativamente simple de topología en neurociencia. Actualmente se están estudiando ideas más complejas de estructuras ocultas. Hablar de agujeros, formas y clasificaciones puede parecer abstracto, pero la topología podría jugar un papel fundamental en la forma en que se organiza el cerebro y el código neuronal subyacente. Actualmente, se  ha demostrado un marco matemático que utiliza el análisis de datos topológicos para la codificación del espacio y la memoria, así como la función cerebral sana en comparación  a la enferma. Comprender la conectividad de la red muestra cómo los cambios en las estructuras intrínsecas dentro de la red neuronal parecen acompañar a los trastornos neurológicos y psicológicos e incluso pueden usarse como marcadores de diagnóstico para patologías como la enfermedad de Alzheimer, los accidentes cerebrovasculares y el autismo [1]. Los investigadores también están utilizando herramientas topológicas para comprender los estados de conciencia, la neurociencia sensorial y las propiedades morfológicas de las arterias cerebrales a lo largo de la vida [2]. En un momento en el que todavía hay mucho que aprender sobre cómo funciona el cerebro, la topología ha demostrado ser una forma útil de estudiar las preguntas de la neurociencia que todavía siguen sin  respuesta. A pesar de estos avances, aún no se ha aprovechado todo el potencial del uso de la teoría de redes en la neurociencia. Aunque actualmente se utiliza con fines principalmente descriptivos de redes más simples en un momento puntual en el tiempo (redes estáticas), comprender cómo los circuitos del cerebro se conectan con otros circuitos o evolucionan con el tiempo son ejemplos  de posibles direcciones futuras prometedoras.

Los avances en la topología computacional han ayudado enormemente en el intento de  comprender cómo las neuronas codifican el mundo que nos rodea. También ha servido de  inspiración para entender  cómo incluso las matemáticas más abstractas pueden ser útiles en  aplicaciones científicas. La neurociencia es un campo interdisciplinario que extrae talento de diferentes campos y, a medida que la neurociencia encuentra nuevos vínculos con estos otros campos, nuestra comprensión de cómo funciona el cerebro puede volverse más completa. 

Referencias:

[1] Expert, Paul, et al. “Editorial: Topological Neuroscience.” Network Neuroscience, vol. 3, no. 

3,  July 2019, pp. 653–55. PubMed Central, doi:10.1162/netn_e_00096.

[2] Stolz, Bernadette. Computational Topology in Neuroscience. p. 77.

[3] Curto, Carina. “What Can Topology Tell Us about the Neural Code?” Bulletin of the American 

Mathematical Society, vol. 54, no. 1, Sept. 2016, pp. 63–78. DOI.org (Crossref), 

doi:10.1090/bull/1554.